Matematika Ekonomi

PENDAHULUAN

Aljabar kalkulus, yang berintikan teori tentang Differensiasi dan Integrasi, berhubungan dengan perubahan – perubahan sangat kecil dalam variabel- variabel sebuah fungsi. Dikembangkan secara terpisah pada abad ketujuhbelas oleh Sir Isaac Newton dan Gottfried Leibneitz, kalkulus semula digunakan untuk memecahkan masalah-masalah fisika, astronomi, dan geometri. Dewasa ini kalkulus semakin meluas dimanfaatkan oleh berbagai bidang atau ilmu pengetahuan, termasuk ilmu ekonomi. Mengingat analisis dalam bisnis dan ekonomi selalu berhubungan, kalkulus memainkan peranan penting sebagai salah satu alat analisisnya.

Dalam matematika, turunan dari suatu fungsi adalah satu dari dua konsep utama dalam kalkulus. Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas. Teori tentang limit dan kesinambungan sebuah fungsi merupakan “akar” dari aljabar kalkulus. Oleh karena itu pembahasan mengenai materi kalkulus selalu diawali dengan pembahasan konsep Limit, Differensiasi dan Integrasi.

1.  Konsep Limit dan Kesinambungan Fungsi                                                                                                               Limit Fungsi : f(x) = L adalah nilai f(x) dapat dibuat dekat ke L jika x dibuat dekat ke a.

Contoh :

Teorema Limit :

• Jika f(x) = c, maka f(x) = c
• (f(x) ± g(x)) = (f(x) ± (g(x))
• (f(x).g(x)) = (f(x) . (g(x))
• c. f(x) = c. f(x)
•   = dengan g(x) ≠ 0

2. Konsep Differensial

Turunan (derivatif) tingkatan perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil variabel bebas fungsi yang  bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : X       0

y

y = f(x)

           x    =

       

Teorema diferensial :

1. Diferensiasi fungsi konstanta  :  Jika y = k, maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linear   : Jika y = a + bx, maka y’ = b
3. Diferensiasi fungsi pangkat   : Jika y = axn, maka y’ = n.a xn-1
4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi:

     Jika y = Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta: Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y’= k.u’
b. Perkalian fungsi: Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x),

6. Diferensiasi hasil bagi fungsi : Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v – u.v’
              v                                 v2
7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai ) : Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka dy = dy . du             dx du dx
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali.
Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau f(nx) atau dn (y)
               dxn                     dx
9. Diferensiasi implisif : Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx . 

 Penerapan ekonomi :

        1. ELASTISITAS

      Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan yaitu :

                  1.    Elastisitas titik ( point elasticity)   

           2.    Elastisitas busur ( Arc Elasticity)

     Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : 

1. n > 1     = elastis   c.   n = 1    = unitary elastis
2. n < 1  = inelastis    d.   n = 0   = inelastis sempurna
5. n = ∞  = elastis tak hingga 

•         Elastisitas Permintaan Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(p), maka elastisitas permintaannya        n = Qd’ . p/Qd

•  Elastisitas Penawaran Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f (p), maka elastisitas penawarannya n = Qs’ . p/Qs
• Elastisitas Produksi Jika fungsi produksi dinyatakan dengan p = f(x), maka elastisitas produksinya np = P’ .  x/p

2.     BIAYA

• Biaya Total ( TC )

TC = Total cost VC = Variabel cost FC = Fixed cost

TC = F(Q) atau TC = FC + VC , Q   = Quantitas 

• Biaya Rata – rata (AC) AC = TC / Q
• Biaya Marginal ( MC) 

3. PENERIMAAN

• Penerimaan Total (TR)

TR = F(Q) = P ∙ Q

• Penerimaan Rata – rata (AR)

AR = TR / Q = (P ∙ Q) / Q = P

• Penerimaan Marginal ( MR )

4. LABA MAKSIMUM

Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan biaya marginal (MC) dan pendapatan marginal (MR). Perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum) bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC. Laba (phi) = TR – TC.

3. Konsep Integral

Konsep Integral terbagi menjadi dua yakni : Integral tak tentu dan Integral tentu.

1. Integral tak tentu adalah suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan dari fungsinya diketahui.

                               Rumusnya :

Penerapan Ekonomi Integral Tak Tentu:

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari  persamaan fungsi dari total suatu variable ekonomi apabila persamaan  fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya  merupakan turunan dari fungsi total.

Fungsi Biaya                                                 Fungsi penerimaan                                 Fungsi utilitas

Fungsi produksi                              Fungsi konsumsi dan tabungan

B. Integral Tentu

Integral Tentu (definit) merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.

Rumus Integral tertentu :

_a ʃ^b f(x)dx = [F(x)]^b a= F(b) – F(a)

Ket :  a = x = batas minimum

          b = y = batas maksimum dimana a < b

Penerapan Integral Tentu Dalam Ekonomi :

• Surplus Konsumen

Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih yang dinikmati oleh konsumen tertentu dimana ia sebenarnya mampu membayar lebih tinggi dari harga pasar (Pe).

Rumus Surplus Konsumen

Cs = ʃ^Qe f(Q) dQ – Qe . Pe = ʃ^{^P} f(P) dP

Ket : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar

         Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

•          ^P = Tingkat harga pada saat Q=0Surplus Produsen

Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih yang dinikmati oleh produsen tertentu dimana ia sebenarnya mampu mejual barang yang ditawarkan lebih rendah dari harga pasar (Pe).

Rumus Surplus Produsen :

Ps – Qe . Pe - ₀ʃ^Qe f(Q) dQ = _^Pʃ^Pe f(P) dP

    Ket :  Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar
              Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

              ^P = Tingkat harga pada saat Q=0